Professur für Angewandte Mathematik
Das Buffon-Experiment

Das Buffon-Experiment

Nadeln, Dielen und die Zahl Pi

Von Stefan Becher.

Betreuung: Prof. Dr. Brigitte Forster-Heinlein

Das Experiment ist im Jahr 1777 von dem französischen Naturforscher Georges-Louis Leclerc entwickelt worden. Leclerc trug den Titel „Graf von Buffon“, woher auch das Experiment seinen Namen hat. Bei dem Experiment werden Nadeln auf einen Dielenboden geworfen. Dabei kann eine Nadel entweder eine Fuge kreuzen oder nicht. Kommt es zu einer Kreuzung, dann zählt das als ein Treffer. Ziel des Experiments ist es die Zahl π annähern zu können.

Dazu benötigt man vier Werte:

  • Den Abstand a der Fugen,
  • die Länge l der Nadeln,
  • die Anzahl k der Treffer, und
  • die Anzahl n aller Würfe.

 

π lässt sich dann mit folgender Formel annähern:

Diese Formel ist jedoch nur gültig, solange l ≤ a, also die Länge der Nadel kürzer ist, als die Breite der Dielen.

Mit der folgenden Simulation können Sie das Experiment selbst ausprobieren. Dabei können neben Nadeln auch noch andere Objekte geworfen werden. Es können einfache Würfe ausgeführt werden oder man kann π auf eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen genau suchen. Eine genauere Bedienungsanleitung der Simulation sowie Einschränkungen bestimmter Werte sind im weiterführenden Teil unter der Simulation zu finden.


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  • Würfe, davon Treffer
  • π ≈
  • Übereinstimmung mit π = %
  • Übereinstimmung mit π auf Nachkommastellen


Anleitung

Die Simulation visualisiert das Buffonsche Nadelproblem. Das Kernelement ist der große Holzboden. Dort werden die Würfe simuliert. Schneidet dabei ein Objekt eine der Linien, dann wird es in einem Grünton dargestellt. Trifft es keine Linie, dann erscheint es rötlich.
Über dieser großen Fläche befinden sich Auswahlbuttons um das Objekt zu ändern, welches geworfen werden soll. Dabei kann die herkömmliche Nadel gewählt werden, aber auch Dreiecke, Quadrate oder Kreise. Die Objektgröße ist dann immer der größtmögliche Abstand zweier Punkte des Objekts.
Unter der Holzfläche sind die Bedienelemente, um die Simulation zu starten. Zum Einen können Objekte geworfen werden. Das geht einerseits mit den vorgefertigten Buttons, welche Werte zwischen 1 und 100000 enthalten. Ebenso kann aber auch in das Eingabefeld eine beliebige, ganze Zahl zwischen 1 und 1 Million eingegeben werden und mit „Werfen“ die Simulation gestartet werden.
Es können auch Würfe ausgeführt werden, bis π auf eine gewünschte Anzahl an Nachkommastellen gefunden wurde. Dazu gibt man in zugehörige Eingabefeld einfach die gewünschte Anzahl ein und beginnt die Simulation mit „Suchen“. Es werden hier 500000 Würfe ausgeführt. Wird dabei π nicht genau genug gefunden, kann die Suche einfach erneut gestartet werden und das Programm sucht an dieser Stelle weiter.
Unter dem Ergebnisbereich findet man weitere Einstellungen. Dort findet man die aktuelle Objektgröße und kann diese verändern. Dabei werden Werte zwischen 0.1 und 1 akzeptiert. Auch kann die Simulation mit „Neustarten“ von vorne begonnen werden. Bei veränderter Größe startet die Anwendung immer neu. Auch kann man sich entscheiden, ob das Brett vor jedem Wurf geleert werden soll oder ob die Objekte liegen bleiben sollen. 

Warum funktioniert das Buffon'sche Experiment?

Gegeben sei ein Stab der Länge l. Der Abstand der Linien sei gegeben mit a. Ebenso soll der Abstand der Linien größer gleich der Länge der Nadel sein, also gilt auch: a ≥ l. Der Abstand des unteren Anfangs des Stabs zur oberen Linie wird definiert mit d, wobei gilt: 0 ≤ d ≤. Der Winkel, den der Stab zur Waagrechten bildet, sei α, mit: 0 ≤ α ≤ π. Der senkrechte Abstand zwischen dem unteren und dem oberen Ende des Stabs sei mit x gegeben. Abbildung 1 veranschaulicht das beschriebene Szenario. 

Abbildung 1: Der Stab der Länge l auf liniertem Papier mit dem Linienabstand a.

Nun gilt es die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit welcher der Stab die Linie kreuzt. Die Linie wird genau dann gekreuzt, wenn gilt: x > d. Der Abstand x lässt sich mit Hilfe des Sinus berechnen. Es gilt:

woraus folgt, dass: 

Das heißt also auch, dass der Stab die Linie kreuzt, wenn: l sin(α) > d. Die sich ergebende Wahrscheinlichkeit für eine Kreuzung mit der Linie hängt also folglich stark von α ab. Ist der Winkel flach, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, wird der Winkel steiler, steigt die Wahrscheinlichkeit für einen Schnitt mit der Kante. In einer Kurve lässt sich darstellen, wie sich x oder auch l sin(α) in Bezug auf alle möglichen Werte von α verhält. Die Funktion ist in Abbildung 2 dargestellt. Auf der x-Achse sind die möglichen Werte von α aufgetragen, auf der y-Achse die zugehörige Höhe von l sin(α). Am Hochpunkt dieser Sinuskurve hat der y-Achsenabschnitt den gleichen Wert wie die Länge l des Stabs. An diesem Punkt steht der Stab senkrecht zu der Linie, darum kann der Wert nicht weiter steigen. 
Setzt man nun für jeden Punkt der Kurve l sin(α) gleich mit d, dann berührt der Stab folglich die Linie mit seinem oberen Ende, da x = d (vergleiche Abbildung 1). Es gelten also folgende Bedingungen: Der Stab berührt die Linie wenn gilt:

Der Stab schneidet die Linie wenn gilt:

Das heißt für die Kurve in Abbildung 2, dass auf allen Punkten auf und unter der Kurve Berührungen mit der Linie stattfinden.

Abbildung 2: l sin(α) in Abhängigkeit von α. Es ergibt sich eine Sinuskurve.

Mit Hilfe dieser Kurve kann nun bestimmt werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Linie gekreuzt wird. Fest steht nun, es kommt zu einer Kreuzung für alle Punkte auf und unter der Kurve. Hier kommt die Monte-Carlo-Simulation zum Einsatz. Mit dieser lassen sich schwer zu bestimmende Flächeninhalte leicht bestimmen, indem die Fläche in eine einfach zu bestimmende Form, wie ein Rechteck eingefasst wird. In dem Rechteck werden zufällige Punkte verteilt. Das Verhältnis der Punkte, die in der zu berechnenden Fläche liegen zu der Gesamtzahl der Punkte ist das gleiche, wie das der gesuchten Fläche zu der des Rechtecks. Die Simulation wird hier angewendet und die Kurve in ein Rechteck eingefasst. Dieses berechnet sich aus dem Abstand a der Linien voneinander mal π. Das ist in Abbildung 3 zu sehen. Der Abstand zwischen der Kurve und der Waagrechten a ist in Abbildung 1 gut zu erkennen als a - d und stellt alle möglichen verbleibenden Punkte dar, an denen keine Kreuzungen mit der Linie stattfinden. Kurz gesagt bedeutet das: Unter der Kurve finden Schneidungen statt, über der Kurve nicht.

Abbildung 3: Anwendung der Monte-Carlo-Simulation durch Eintragen des Rechtecks.

Es gilt nun herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Kreuzung stattfindet oder anders ausgedrückt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein im Rechteck zufällig verteilter Punkt unter der Kurve liegt. Laut der Monte-Carlo-Simulation gilt folgende Formel:

wobei Ak für den Flächeninhalt zwischen der Kurve und der x-Achse, Au für den Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks und p für die Wahrscheinlichkeit einer Kreuzung steht. Löst man die Formel nach dem gesuchten p auf, so erhält man:

Die Fläche Ak wird mit Hilfe von Integration mit den Integrationsgrenzen 0 und π berechnet. Au erhält man einfach durch a mal π. Dadurch ergibt sich:

Au muss nicht weiter beachtet werden, das Integral muss jedoch berechnet werden. Dabei ist zu beachten, dass die Stammfunktion von sin(α) gleich -cos(α) ist. Das Integral wird folgendermaßen berechnet:

Als Ergebnis für p ergibt sich letztlich:

Diese Wahrscheinlichkeit könnte man nun durch Berechnung mit gegebenen l und a bestimmen. Da jedoch das Ziel des Experiments darin besteht π näherungsweise zu bestimmen und dieses somit nicht gegeben ist, muss p auf einem anderem Weg bestimmt werden. Wenn im Experiment der Stab geworfen wird, gibt es genau zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Der Stab kann eine Linie kreuzen oder nicht. p wird durch Ausführen des Experiments bestimmt. Dabei wird der Stab n-mal geworfen. Die Anzahl der Kreuzungen mit einer Linie sei definiert als k. Wird dieser Vorgang sehr oft wiederholt, dann gilt laut dem Gesetz der großen Zahlen folgender Zusammenhang:

Eingesetzt in die vorher bestimmte Formel erhält mal schlussendlich die Gleichung:

Diese Gleichung lässt sich nach π auflösen und daraus ergibt sich folgende Formel für die näherungsweise Bestimmung von π:

Wer war Georges-Louis Leclerc von Buffon?

Sein richtiger Name war eigentlich Georges-Louis Leclerc.
Den Titel „Graf von Buffon“ erhielt er durch die Erhebung des Dorfes Buffon zur Grafschaft, welches in seinem Besitz war.
Er wurde am 7. September im Jahr 1707 in Montbard, nahe Dijon, in Frankreich geboren.
Durch eine reiche Erbschaft seiner Mutter war es der Familie möglich ein gutes Leben zu führen.
1728 begann Leclerc mit mathematischen, botanischen und medizinischen Studien an der Universität von Angers.
Ab 1733 war er an der „Académie royale des sciences“ beschäftigt und versuchte dort für den Schiffsbau der Marine das am besten geeignete Holz zu finden. Dafür hat er sogar eine Versuchsbaumschule angelegt.
Daraufhin erfolgte im Jahr 1739 die Ernennung zum Direktor der königlichen Gärten, bekannt als der „Jardin des Plantes“. Zu seinen Aufgaben gehörte unter anderem die Betreuung der königlichen naturwissenschaftlichen Sammlung.
Dies brachte ihn auf die Idee für sein Lebenswerk, der „Histoire naturelle“. Von dieser naturgeschichtlichen Enzyklopädie hat Buffon von 1749 bis 1786 insgesamt 36 Bände veröffentlicht.
Neben dem Verfassen seiner eigenen Werke hat Leclerc ebenfalls „Fluxions“ von Isaac Newton sowie „Vegetable Staticks“ von Stephen Hales ins Französische übersetzt.
Buffon war jedoch kein reiner Theoretiker. So führte er im Jahr 1747 vor König Ludwig XV. ein Experiment durch, bei dem er mit einem Brennspiegel ein 200 Fuß entferntes Stück Holz entzündete. Ebenso versuchte er durch die Beobachtung der Abkühlung von glühenden Eisenkugeln herauszufinden, wann der Erdkern erstarren wird.
Die Idee für sein berühmtes Nadelexperiment kam ihm erst im Jahr 1777. Ob er dadurch wirklich die Zahl π approximativ berechnen wollte, ist historisch nicht belegt. Ebenso ist nicht klar, ob er das Experiment jemals selbst durchgeführt hat. Viel mehr ging es ihm wohl darum, ein faires Spiel zu entwickeln, bei dem die Nadel mit einer 50-prozentigen Wahrscheinlichkeit eine Linie kreuzt.
1753 ist Buffon in die „Académie française“ berufen worden.
Sein letztes Werk, das er veröffentlichte, war „Les Epoques de la Nature“ im Jahr 1788. Darin widerlegte er die damalige Ansicht der Kirche, dass die Welt 6000 Jahre alt sei. Er schätzte sie viel älter.
Im selben Jahr verstarb Buffon am 16. April in Paris.

Literatur

Havil Julian, Stern Manfred. Verblüfft?! Mathematische Beweise unglaublicher Ideen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009. ISBN: 978-3-540-78235-3.

Deutsches Museum. Leclerc. www.deutsches-museum.de/bibliothek/unsere-schaetze/naturwissenschaften/leclerc/ , 1998. Zugriff: 27.02.2015.

Bild von Buffon: François-Hubert Drouais [Public domain], via Wikimedia Commons.