Sound Synth

Masse-Feder-Modell einer schwingenden Saite

Simulation Geschwin-digkeit

Saitenlänge [m]
Spannkraft der Saite [N]
Masse der Saite [kg]
Anzahl an Massen
Zeit [s]
Dämpfung: 3 %

Alles simuliert - aber wie?

Es gibt verschiedene Arten eine Gitarrensaite zu simulieren. Eine davon ist das Masse-Feder-Modell:

Der schwingende Körper - hier unsere Gitarrensaite - wird in einzelne Massepunkte aufgeteilt. Um die Biegsamkeit des Körpers zu simulieren, werden die Massepunkte durch Federn miteinander verbunden. Unsere Gitarrensaite lässt sich als eine Kette (1D) an Massen und Federn simulieren, die Membran einer Trommel hingegen als ein Gitter (2D).

Je nach gewünschter Genauigkeit und zu simulierenden Körper, werden Bewegungen der Massen in eine oder mehrere Dimensionen betrachtet. Für unsere Gitarrensaite reicht es aus, die Bewegung der Massepunkte entlang einer Richtung (vertikal) zu betrachten.
Wie wird aus einer Kette aus Massen und Federn eine Bewegung?

Die Massen haben ein Gewicht. Die Federn bewirken die elastische Verbindung zweier Massen, sind aber selbst massenlos. Die Kraft, die auf eine Masse wirkt, berechnet sich mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes: \[F = -\lambda \cdot \frac{\Delta l}{l},\] wobei $\lambda$ die Federsteifigkeit, $l$ die Länge der Feder im entspannten Zustand und $\Delta l$ die Differenz der Federlänge bezeichnet. Die Kraft, die eine Feder auf die Masse ausübt, ist also proportional zur Dehnung bzw. Stauchung der Feder.

In unserer Kette sind immer zwei Federn mit einer Masse verbunden. Wir erhalten daher für die resultierende Kraft \[ F_{\text{gesamt}}=-\lambda \cdot (\frac{\Delta l_1}{l}+ \frac{\Delta l_2}{l} ) \] bei gleicher Federsteifigkeit $\lambda$ und gleicher Länge im entspannten Zustand $l$. Da sich die Massen in unserem Modell nur in $y$-Richtung (vertikal) bewegen dürfen, betrachten wir vereinfacht die $y$-Komponente zur Berechnung von $\Delta l_{1/2}$.
Wir erhalten folgendes Bild:

Ausgelenkte Längen sind mit $^{'}$ gekennzeichnet. Festgelegt, dass die Massen im unausgelenkten Zustand (Stillstand) die Koordinate $y=0$ besitzen, können wir die Kraft, die auf eine Masse $m_i$ mit den Koordinaten $(x_i,y_i)$ wirkt, folgendermaßen berechnen \[ F_{i} = -\lambda \cdot \frac{(y_{i} - y_{i-1})+(y_{i}-y_{i+1})}{\Delta x},\] wobei $\Delta x = x_{i}-x_{i-1} = x_{i+1}-x_{i}= l$.
Mit Newtons 2. Gesetz stellen wir einen Zusammenhang zwischen der Kraft, die auf eine Masse wirkt, und ihrer Beschleunigung $a(t)$ her, \[F(t)= m \cdot a(t).\]

Von Ort $y(t)$ zu Geschwindigkeit $v(t)$ zu Beschleunigung $a(t)$
Die Ableitung der Strecke $y(t)$ ist die Geschwindigkeit $v(t)$, d.h. \[ v(t) = \frac{dy(t)}{dt} = y{'}(t).\] Die Ableitung der Geschwindigkeit bzw. die zweite Ableitung der Strecke ist die Beschleunigung $a(t)$, d.h. \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2y(t)}{dt^2}=y''(t). \]

Wir schreiben $F(t) = m \cdot a(t) = m \cdot v'(t) = m \cdot y''(t)$ als System zweier Differentialgleichungen (DGLs) der 1. Ordnung (abh. von 1. Ableitung): \[ \begin{pmatrix} y(t) \\ v(t) \end{pmatrix}^{'} = \begin{pmatrix}v(t)\\\frac{F(t)}{m}\end{pmatrix}.\]
Die Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen oder numerisch annähern, wie in unserem Fall. Die Größen Geschwindigkeit und Ort des nächsten Schrittes $n+1$ berechnen sich aus den Größen des aktuellen Schrittes $n$ wie folgt, \[ \begin{pmatrix} y_{n+1}\\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_n\\v_n \end{pmatrix} + \Delta t \cdot \begin{pmatrix}v_{n+1}\\ \frac{F_n}{m} \end{pmatrix}.\] Je kleiner $\Delta t$ gewählt wird, desto genauer ist die Annäherung.

In der Realität kommt es immer zu Verlusten z.B. in Form von Reibung. Das modellieren wir mittels Dämpferelementen zwischen den Massen. Die Dämpfung ist abhängig von der Geschwindigkeit. Es gilt: \[ \begin{pmatrix} y_{n+1}\\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_n\\v_n \end{pmatrix} + \Delta t \cdot \begin{pmatrix}k\cdot v_{n+1}\\ \frac{F_n}{m} \end{pmatrix}\] mit Dämpfungskonstante $k$.

Quellen

Mark Pearson. Synthesis of organic sounds for electroacoustic music: cellular models and the TAO computer music program. 1996

Sadjad Siddiq. Die rechnerische Nachbildung der Sitar. 2010

DonMorgan and Sanzheng Qiao. Analysis of DampedMass-Spring Systems for Sound Synthesis. 2008

Wie erzeugen Musikinstrumente Klang?

Die Klangquelle eines jeden Musikinstruments sind mechanische, akustische oder elektrische Schwingungen. Das können zum Beispiel sein:
- vibrierende Saite (Geige, Gitarre, Klavier),
- vibrierender Balken (Xylophon),
- vibrierende Membran (Trommel, Banjo),
- vibrierende Luft in einem Rohr (Blasinstrumente),
- vibrierende Luft in einem geschlossenem Behältnis (Gitarrenkörper)
- oszillierende Spannungen (Theremin)
Damit ein Objekt (mechanisch) schwingen kann, benötigt es zwei Eigenschaften, Steifigkeit und Trägheit. Die Steifigkeit wirkt als rückstellende Kraft in eine Gleichgewichtsposition, während die Trägheit bewirkt, dass über die Gleichgewichtsposition hinausgeschossen wird.

Das Schwingungsverhalten einzelner Elemente eines Musikinstruments ist relativ leicht zu verstehen. In einem Musikinstrument treten diese Elemente gekoppelt auf und bilden dadurch ein komplexes System.

Zuerst schauen wir uns an, welche Bewegung eine gezupfte Gitarrensaite macht. Anschließend betrachten wir, wie aus einer vibrierenden Saite ein Ton entsteht, den wir hören können.
Wie sieht die Schwingung einer Gitarrensaite aus?

Rechts siehst Du eine Gitarrensaite, die durch Zupfen in Schwingung versetzt wurde. Die Saite schwingt mit einer ungefähren Frequenz von 90 Hz. Das heißt die Saite bewegt sich innerhalb einer Sekunde in etwa 90 mal hoch und runter.

Das geht alles so schnell, dass wir die eigentliche Bewegung der Saite mit bloßen Auge nicht sehen. In der Simulation können wir unsere Saite beliebig langsam schwingen lassen.

Im entspannten Zustand hat die Gitarrensaite die Form einer geraden Linie.

Sobald wir die Saite mit dem Finger zupfen, verformt sich die Saite von einer geraden Linie in eine Art Dreieck (orange gekennzeichnet). Die Ecken sind die beiden Einspannungen und der Finger.

Lassen wir die Saite dann los, schwingt die gezupfte Saite mit einer Art wandernden Dreieck.
Kein Ton ohne Schallwellen

Was wir als Ton wahrnehmen, ist nichts anderes als eine Variation im Luftdruck, die von unserem Trommelfell erkannt wird. Die Schwingung wird anschließend über die drei Gehörknöchelchen (Hammer, Amboss und Steigbügel) an die Flüssigkeit der Gehörschnecke übertragen und von dort als Nervenimpulse an das Gehirn weitergegeben, welches daraus den Höreindruck ermittelt. Die Variation im Luftdruck nennen wir auch Schallwelle.

Zweitrangig können Vibrationen direkt über den Kopfknochen an die Schnecke kommuniziert werden, wenn das vibrierende Objekt direkten Kontakt zum Kopf hat.

Der menschliche Hörsinn hört Frequenzen zwischen 20 Hz und 20 kHz. Damit ist er gut angepasst an die menschliche Sprache, die zwischen 100 Hz und 10 kHz liegt.

Wie erzeugen vibrierende Objekte Schallwellen?

Schwingt ein Objekt, wie zum Beispiel unsere Gitarrensaite, so bringt sie auch die Luft drum herum in Schwingung. Eine Schallwelle ist geboren. Je nach dem wie schnell unsere Saite schwingt, ändert sich die Frequenz der Schallwelle, was wir als unterschiedliche Tonhöhen wahrnehmen.

Quellen

Neville H. Fletcher, Thomas D. Rossing. The Physics of Musical Instruments. 1998

Masse-Feder-Modell einer schwingenden Saite

Alles simuliert - aber wie?

Wie wird aus einer Kette aus Massen und Federn eine Bewegung?

Quellen

Wie erzeugen Musikinstrumente Klang?

Wie sieht die Schwingung einer Gitarrensaite aus?

Kein Ton ohne Schallwellen

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Quellen