Das Buffon-Experiment

Nadeln, Dielen und die Zahl Pi

Von Stefan Becher.

Betreuung: Prof. Dr. Brigitte Forster-Heinlein

Das Experiment ist im Jahr 1777 von dem französischen Naturforscher Georges-Louis Leclerc entwickelt worden. Leclerc trug den Titel „Graf von Buffon“, woher auch das Experiment seinen Namen hat. Bei dem Experiment werden Nadeln auf einen Dielenboden geworfen. Dabei kann eine Nadel entweder eine Fuge kreuzen oder nicht. Kommt es zu einer Kreuzung, dann zählt das als ein Treffer. Ziel des Experiments ist es die Zahl π annähern zu können.

Dazu benötigt man vier Werte:

Den Abstand a der Fugen,
die Länge l der Nadeln,
die Anzahl k der Treffer, und
die Anzahl n aller Würfe.

π lässt sich dann mit folgender Formel annähern:

Formel: Pi ist gerundet 2l geteilt durch a mal n geteilt durch k

Diese Formel ist jedoch nur gültig, solange l ≤ a, also die Länge der Nadel kürzer ist, als die Breite der Dielen.

Mit der folgenden Simulation können Sie das Experiment selbst ausprobieren. Dabei können neben Nadeln auch noch andere Objekte geworfen werden. Es können einfache Würfe ausgeführt werden oder man kann π auf eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen genau suchen. Eine genauere Bedienungsanleitung der Simulation sowie Einschränkungen bestimmter Werte sind im weiterführenden Teil unter der Simulation zu finden.

Würfe, davon Treffer
π ≈
Übereinstimmung mit π = %
Übereinstimmung mit π auf Nachkommastellen

Brett vor jedem Wurf leeren

Das Applet ist nur auf Bildschirmen mit einer Auflösung von mindestens 992 Pixel Breite sichtbar.

Die Simulation visualisiert das Buffonsche Nadelproblem. Das Kernelement ist der große Holzboden. Dort werden die Würfe simuliert. Schneidet dabei ein Objekt eine der Linien, dann wird es in einem Grünton dargestellt. Trifft es keine Linie, dann erscheint es rötlich.
Über dieser großen Fläche befinden sich Auswahlbuttons um das Objekt zu ändern, welches geworfen werden soll. Dabei kann die herkömmliche Nadel gewählt werden, aber auch Dreiecke, Quadrate oder Kreise. Die Objektgröße ist dann immer der größtmögliche Abstand zweier Punkte des Objekts.
Unter der Holzfläche sind die Bedienelemente, um die Simulation zu starten. Zum Einen können Objekte geworfen werden. Das geht einerseits mit den vorgefertigten Buttons, welche Werte zwischen 1 und 100000 enthalten. Ebenso kann aber auch in das Eingabefeld eine beliebige, ganze Zahl zwischen 1 und 1 Million eingegeben werden und mit „Werfen“ die Simulation gestartet werden.
Es können auch Würfe ausgeführt werden, bis π auf eine gewünschte Anzahl an Nachkommastellen gefunden wurde. Dazu gibt man in zugehörige Eingabefeld einfach die gewünschte Anzahl ein und beginnt die Simulation mit „Suchen“. Es werden hier 500000 Würfe ausgeführt. Wird dabei π nicht genau genug gefunden, kann die Suche einfach erneut gestartet werden und das Programm sucht an dieser Stelle weiter.
Unter dem Ergebnisbereich findet man weitere Einstellungen. Dort findet man die aktuelle Objektgröße und kann diese verändern. Dabei werden Werte zwischen 0.1 und 1 akzeptiert. Auch kann die Simulation mit „Neustarten“ von vorne begonnen werden. Bei veränderter Größe startet die Anwendung immer neu. Auch kann man sich entscheiden, ob das Brett vor jedem Wurf geleert werden soll oder ob die Objekte liegen bleiben sollen.

Sein richtiger Name war eigentlich Georges-Louis Leclerc.
Den Titel „Graf von Buffon“ erhielt er durch die Erhebung des Dorfes Buffon zur Grafschaft, welches in seinem Besitz war.
Er wurde am 7. September im Jahr 1707 in Montbard, nahe Dijon, in Frankreich geboren.
Durch eine reiche Erbschaft seiner Mutter war es der Familie möglich ein gutes Leben zu führen.
1728 begann Leclerc mit mathematischen, botanischen und medizinischen Studien an der Universität von Angers.
Ab 1733 war er an der „Académie royale des sciences“ beschäftigt und versuchte dort für den Schiffsbau der Marine das am besten geeignete Holz zu finden. Dafür hat er sogar eine Versuchsbaumschule angelegt.
Daraufhin erfolgte im Jahr 1739 die Ernennung zum Direktor der königlichen Gärten, bekannt als der „Jardin des Plantes“. Zu seinen Aufgaben gehörte unter anderem die Betreuung der königlichen naturwissenschaftlichen Sammlung.
Dies brachte ihn auf die Idee für sein Lebenswerk, der „Histoire naturelle“. Von dieser naturgeschichtlichen Enzyklopädie hat Buffon von 1749 bis 1786 insgesamt 36 Bände veröffentlicht.
Neben dem Verfassen seiner eigenen Werke hat Leclerc ebenfalls „Fluxions“ von Isaac Newton sowie „Vegetable Staticks“ von Stephen Hales ins Französische übersetzt.
Buffon war jedoch kein reiner Theoretiker. So führte er im Jahr 1747 vor König Ludwig XV. ein Experiment durch, bei dem er mit einem Brennspiegel ein 200 Fuß entferntes Stück Holz entzündete. Ebenso versuchte er durch die Beobachtung der Abkühlung von glühenden Eisenkugeln herauszufinden, wann der Erdkern erstarren wird.
Die Idee für sein berühmtes Nadelexperiment kam ihm erst im Jahr 1777. Ob er dadurch wirklich die Zahl π approximativ berechnen wollte, ist historisch nicht belegt. Ebenso ist nicht klar, ob er das Experiment jemals selbst durchgeführt hat. Viel mehr ging es ihm wohl darum, ein faires Spiel zu entwickeln, bei dem die Nadel mit einer 50-prozentigen Wahrscheinlichkeit eine Linie kreuzt.
1753 ist Buffon in die „Académie française“ berufen worden.
Sein letztes Werk, das er veröffentlichte, war „Les Epoques de la Nature“ im Jahr 1788. Darin widerlegte er die damalige Ansicht der Kirche, dass die Welt 6000 Jahre alt sei. Er schätzte sie viel älter.
Im selben Jahr verstarb Buffon am 16. April in Paris.

Havil Julian, Stern Manfred. Verblüfft?! Mathematische Beweise unglaublicher Ideen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009. ISBN: 978-3-540-78235-3.

Deutsches Museum. Leclerc. www.deutsches-museum.de/bibliothek/unsere-schaetze/naturwissenschaften/leclerc/ , 1998. Zugriff: 27.02.2015.

Bild von Buffon: François-Hubert Drouais [Public domain], via Wikimedia Commons.

Professur für Angewandte Mathematik